%     Gravitación -> Capítulo 7.
%
% basado en la versión 1998-04-20
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%     Lista de cambios
%
% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: '''';
%     Dice: '''';
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
%
% 1. Samuel; Se ha trasladado la sección tres del capítulo VI, El problema de las tres partículas,
%    aunque todavía no se ha acomodado o empalmado adecuadamente.
%    Fecha: 2008-01-14
%
% 2. Samuel; Se introdujerón las dos primeras figuras del capítulo
%    Fecha: 2008-01-20
%
% 3. Samuel; Se titulo a la primera sección "Observaciones", se quitó el último parrafo de esta sección y se colocó al final de la tercera sección, para tener un poco de congruencia. En la primera sección se agrego (no sin antes hablar del problema de los dos cuerpos, para no perder el orden ni las buenas costumbres) con lo que no se nota que no fue Dario quien escribió esa frase. Ello se hizó para mantener en lo posible un seguimiento adecuado, después de que la última sección del capítulo 6 se convirtió en la primera sección de este capítulo.
%    Se agregarón las figuras 3 y 4.
%    Fecha: 2008-01-26
% 
%    Samuel; se han agreagdo las figuras que faltaban y las que se corrigieron.
%    Fecha: 2008-02-16
%
%    Samuel; Se hicieron algunas de las correciones que sugirio el Dr. Del Río, se corrigió la figura 6 y se agregó el detalle para
%            obtener la fuerza total sobre la Luna.
%    Fecha: 2008-05-02
% ------------------------------------------------------------
\chapter{Un caso especial}
\section{Problemas con los cuerpos}

Por ah\'{\i} se lee que el problema de las dos part\'{\i}culas es
totalmente soluble y que la soluci\'on se conoce desde los tiempos
de Newton y Kepler. Tambi\'en hay libros que dicen que el problema
de las tres part\'{\i}culas no tiene soluci\'on y que esto lo 
demostr\'o Poincar\'e, en un trabajo que le signific\'o un premio.
¿Qu\'e significa que el problema de las dos part\'{\i}culas
sea soluble?

El problema de las dos part\'{\i}culas conduce a una ecuaci\'on
del tipo
%
\begin{align}
\label{cap7:ec1}
d^2 \vec r /dt^2 = \frac{-K\,  \vec r}{r^3 }
\end{align}
%
y la primera interpretaci\'on de la frase ``ser soluble'' 
podr\'{\i}a ser que, a partir de la ecuaci\'on de movimiento, es 
posible escribir al vector posici\'on $ \vec r$ como una funci\'on del 
tiempo, de las condiciones iniciales y de los dem\'as par\'ametros que 
aparecen en dicha ecuaci\'on. Sabemos que esto no es posible y que la 
``solubilidad'' de las ecuaciones de movimiento se refiere al hecho 
de que, a partir de ella, se puede escribir la ecuaci\'on de la 
\'orbita en funci\'on del \'angulo polar $\theta $ y que, adem\'as, se 
puede escribir una ecuaci\'on  que 
trabajosamente nos permite encontrar al \'angulo $\theta$ en funci\'on 
del tiempo. 

Cuando en geometr\'{\i}a se afirma que el problema de la cuadratura del 
c\'{\i}rculo no es soluble, lo que se quiere decir es que, imponiendo 
la condici\'on de usar solamente regla y comp\'as, el problema no 
tiene soluci\'on. Algo parecido ocurre con el problema de los
tres cuerpos: si se imponen restricciones en el tipo de funciones
que se pueden usar, entonces el problema es insoluble.

Pero nosotros no vamos a entrar en competencia con los matem\'a\-ti\-cos,
sino que vamos a considerar solamente algunos casos especiales
del problema de los tres cuerpos (no sin antes hablar del problema de los dos cuerpos, para no perder el orden ni las buenas costumbres). Adem\'as, nos reservamos el
derecho a usar m\'etodos num\'ericos, tal como usamos m\'etodos 
num\'ericos para resolver la ecuaci\'on de Kepler.
%
%Vamos a estudiar, entonces,  algunos casos especiales del problema de los 
%tres cuerpos. El primero se refiere a nuestra compa\~nera en el 
%espacio, la Luna.

\section{El problema de los dos cuerpos}

Supongamos que en el Universo hay apenas dos part\'{\i}culas. 
Dadas sus posiciones y velocidades iniciales y suponiendo que
se mueven sometidas solamente a su interacci\'on gravitatoria,
queremos encontrar sus posiciones $ \vec r_1(t) $ y  $\vec r_2(t) $. 
Este es el problema de las dos part\'{\i}culas.
Parece ser el problema m\'as simple de todos, pero, tal como
est\'a planteado, es insoluble.

La Humanidad se ha especializado en inventarse problemas insolubles.
Como si no bastaran los problemas sociales, los matem\'aticos 
tambi\'en han inventado famosos problemas imposibles de resolver, como
el de la cuadratura del c\'{\i}rculo y otros.

Estos problemas geom\'etricos suelen ser insolubles debido a las condiciones
que se imponen: usar solamente una regla (no graduada) y un
comp\'as. De modo an\'alogo, el problema de las dos part\'{\i}culas
se convierte en insoluble si nosotros pedimos que se escriban
las funciones $ \vec r_1(t) $ y $  \vec r_2(t)$. Basta relajar un poco 
las condiciones, para que el problema de las dos part\'{\i}culas 
s\'{\i} tenga soluci\'on.

Por ejemplo, lo que se hace es dividirlo en partes. En primer lugar, 
se\~nalar la geometr\'{\i}a de la soluci\'on: seg\'un sea la 
energ\'{\i}a total disponible y las condiciones iniciales, las 
soluciones pueden ser rectas, elipses co-focales, par\'abolas o 
hip\'erbolas. Luego se introduce el factor tiempo, acept\'andose 
entonces soluciones que involucran resolver, num\'ericamente, las 
correspondientes ecuaciones de Kepler. 

Hablando con un poco m\'as de rigor, si llamamos {\sl problema de los 
dos cuerpos} al problema an\'alogo, pero en el que intervienen cuerpos
no puntuales sino extensos, de nuevo el problema se hace imposible
de tratar, excepto en aquellos casos especiales que lo asemejan al 
problema de las dos part\'{\i}culas. La mejor demostraci\'on de
ésto es el caso cl\'asico dentro del
problema de los dos cuerpos: el problema Tierra-Luna. A pesar del esfuerzo 
de los mejores astr\'onomos, cl\'asicos y modernos, el problema sigue
siendo un desaf\'{\i}o. Todas las complicaciones 
provienen de la falta de esfericidad y rigidez de los cuerpos que interact\'uan.

\section{El problema de las tres part\'{\i}culas}

Si el problema de las dos part\'{\i}culas es complicado, no debe 
maravillar que el problema de las tres part\'{\i}culas no tenga
soluci\'on. No tiene soluci\'on en general, aunque s\'{\i} hay 
soluciones en casos especiales. Por ejemplo, si las tres 
part\'{\i}culas son de igual masa y adem\'as parten desde el reposo, en
ciertas configuraciones especiales, entonces s\'{\i} se puede
predecir sus trayectorias.

Por ejemplo, si las tres part\'{\i}culas est\'an en reposo en los
v\'ertices de un tri\'angulo equil\'atero y se las suelta, es claro
que se mover\'an en l\'{\i}nea recta y chocar\'an en su centro de 
masa. Lo que ocurrir\'a despu\'es del choque es un misterio, aunque
naturalmente pensamos que debe conservarse el momentum angular,
 la energ\'{\i}a, etc.

Por cierto, no es \'esta la \'unica soluci\'on posible. Por 
simetr\'{\i}a, esperamos que al menos exista otra soluci\'on, una
soluci\'on en donde, en vez de soltar a las part\'{\i}culas sin
velocidad inicial, a cada una se le da una velocidad inicial
ortogonal, con la recta que une al v\'ertice del tri\'angulo
con el centro de masa. Esperamos que exista una velocidad
de tama\~no tal, que las tres part\'{\i}culas giren como si
el tri\'angulo fuese r\'{\i}gido.

Tambi\'en hay otros casos especiales en que uno puede abrigar
ciertas \textsf{esperanzas} de soluci\'on; por ejemplo, si una de las
part\'{\i}culas es \textsf{mucho} m\'as masiva que las otras dos.

El primero en publicar soluciones a casos especiales fue Jos\'e Luis
 Lagrange (1736--1813). 
Consider\'o, por ejemplo, tres part\'{\i}culas que estaban y 
permanec\'{\i}an alineadas. A comienzos del siglo veinte, Poincar\'e
ya era famoso  por su demostraci\'on de la imposibilidad
de integrar las ecuaciones de movimiento, en el caso en que las tres 
part\'{\i}culas tuviesen condiciones iniciales cualesquiera,

A medidados  del siglo pasado, Sitnikov y Alexeev alcanzaron notoriedad  al discutir
un problema especial: dos part\'{\i}culas de igual masa describen
elipses co-focales en el plano XY (es decir, el foco de ambas est\'a en un mismo
punto; digamos, en el origen). Una tercera part\'{\i}cula, de masa 
mucho menor que las anteriores, se mueve sobre el eje OZ.
Esta part\'{\i}cula es entonces un oscilador forzado, en que la
fuerza es una complicada funci\'on del tiempo. Este oscilador se ha 
hecho famoso porque es ca\'otico. 

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap07_fig01-1}}
\caption{Un oscilador famoso.\label{cap7:f1}}
\end{figure}

Lo interesante de este oscilador y de otros sistemas mec\'anicos,
es que se ha encontrado que leyes mec\'anicas totalmente
deterministas, conducen a resultados sorprendentes: \'orbitas 
ca\'oticas. Fijemos nuestra atenci\'on  en los tiempos $t_1$, $t_2$, $t_3$,
$\ldots$,cuando la tercera part\'{\i}cula atraviesa el plano XY.  Lo notable
es que en este oscilador podemos elegir los valores
$t_1$, $t_2$, $t_3$, \ldots \textsf{anticipadamente}, tom\'andolos,
por ejemplo, de los resultados de la loter\'{\i}a. Siempre ser\'a
posible elegir las condiciones iniciales $ z, \dot z $ y el estado
de las dos part\'{\i}culas que giran en el plano XY, de modo que la
tercera part\'{\i}cula cruza al plano XY en los instantes elegidos...
¡al azar!

Aunque el estudio anal\'{\i}tico de este oscilador es bastante
complicado, nada cuesta escribir un programa de computaci\'on
para jugar un rato con \'el.

Vamos a estudiar, entonces,  algunos casos especiales del problema de los 
tres cuerpos. El primero se refiere a nuestra compa\~nera en el 
espacio, la Luna.\marginpar{Signo de interrogación del Dr. Ley-Koo.}

\section{El sistema Sol--Tierra--Luna}

Nosotros vivimos muy cerca de la Luna y un poco mas lejos del Sol,
es decir, vivimos en un sistema de tres cuerpos que no es  
f\'acil de describir en ecuaciones. Ya sabemos que el sistema 
Tierra--Luna es suficientemente complicado y seguramente lo ser\'a
a\'un m\'as, si  le agregamos el Sol.

Entre todas las preguntas elementales que nos pueden hacer, hay una que
al menos a m\'{\i} me caus\'o sorpresa y me motiv\'o a
estudiarla con m\'as detalle. Se trata de lo siguiente: si
calculamos la fuerza que el Sol ejerce sobre la Luna, resulta
que esta fuerza es casi el doble de la fuerza que la Tierra
ejerce sobre la Luna. Pensando ingenuamente, podemos preguntarnos
de inmediato c\'omo es que la Luna ``no se cae'' hacia el Sol, o
c\'omo es que el Sol no se ``roba'' a la Luna.

Otra manera de ver el mismo asunto es preguntarnos c\'omo es
la \'orbita de la Luna, vista desde el Sol;  dicho en 
griego, podemos preguntarnos por la \textsf{\'orbita helioc\'entrica}
de la Luna. En algunos libros aparece una respuesta disparatada,
pues muestra a la \'orbita helioc\'entrica de la Luna con rizos
y cruzamientos de todo tipo, Figura \ref{cap7:f2}. Ciertamente algo huele mal, ya que
si la fuerza predominante sobre la Luna es una fuerza hacia el
Sol, entonces la \'orbita Lunar siempre ha de ser c\'oncava 
hacia el Sol.

% \begin{figure}[!h]
% \centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap07_fig02-1}}
% \caption{\'Orbita helioc\'entrica de la Luna. ¡Error!\label{cap7:f2}}
% \end{figure}
\begin{figure}[!b]
%\centering{\includegraphics[scale=0.3]{./grav/cap04_fig01}}
%\caption{Un sapo en un pozo.\label{cap4:f1}}
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\centering{\includegraphics[scale=0.25]{./grav/cap07_fig02-1}}
\caption{\'Orbita helioc\'entrica de la Luna. ¡Error!\label{cap7:f2}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.2\linewidth}
\qquad
\end{minipage}
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\centering{\includegraphics[scale=0.25]{./grav/cap07_fig03}}
\end{minipage}
\end{figure}

Durante unos cuantos a\~nos, en el {\sl American Journal
of Physics}, el Prof. Edward M. Purcell public\'o una secci\'on
titulada ``En el respaldo de un sobre''. En el respaldo de
un sobre no caben muchas ecuaciones, as\'{\i} es que cuando se habla
de calcular ``en el reverso de un sobre'', se quiere decir: encontrar
un modo sencillo de calcular; o bien, encontrar una soluci\'on
muy ingeniosa, casi sin c\'alculos. En una de las \'ultimas
apariciones encontramos la siguiente pregunta: {\sl ¿qu\'e
fracci\'on de la trayectoria de la Luna es c\'oncava hacia
el Sol? } Desgraciadamente, Purcell dej\'o de publicar su
instructiva columna y su respuesta nunca apareci\'o.
Pero en lo que sigue yo doy la m\'{\i}a.

\section{La cinem\'atica del problema}

Como un primer paso para entender la \'orbita helioc\'entrica de la 
Luna, pasemos revista a los hechos principales. La Luna gira
en torno a la Tierra dentro de una \'orbita el\'{\i}ptica de muy peque\~na
excentricidad, inclinada apenas un poco con el plano de la 
ecl\'{\i}ptica. Los valores de estas magnitudes son
%
$$ a= 3.844 \times 10^8 \hbox{\kern4pt m} \kern3pc \epsilon = 0.0549 
\kern3pc  i = 5^{\circ} 09^{\prime} $$

Ya dijimos que debido a perturbaciones solares y planetarias,
el problema de la Luna es un problema de muchos cuerpos, as\'{\i}
que para hacerlo tratable debemos  hacer unas cuantas aproximaciones,
igual como hicieron los m\'as grandes matem\'aticos del pasado.
He aqu\'{\i} lo que haremos: 1) supondremos que la inclinaci\'on
de la \'orbita de la Luna, respecto al plano de la ecl\'{\i}ptica,
es cero; y 2) supondremos que, vista desde la Tierra, la \'orbita
de la Luna es una circunferencia, cuyo radio es igual al ``a''
anterior.

\section{Programa cinem\'atico.}

Comenzaremos escribiendo un programa, para familiarizarnos
con la situaci\'on. El programa parte de los datos cinem\'aticos
conocidos y solamente dibuja la \'orbita helioc\'entrica de la Luna.

Llamemos  $A_l$ y $ \omega _l$ al radio de la \'orbita 
 y a la velocidad angular de la Luna.  Estos valores son
%
$$ A_l = 3.844 \times 10^8 \hbox{\kern3pt m}  \kern3pc  \omega_l = 
2\pi / 27.32166 = 0.2299708 \hbox{\kern2pt dias}^{-1} $$
%
\noindent donde $27.32166 $ d\'{\i}as es el tiempo que demora la Luna en
dar una vuelta en torno a la Tierra, \textsf{vista desde el
sistema de referencia de las estrellas.}

An\'alogamente, llamemos  $ A_t$  al radio de la \'orbita terrestre 
(tambi\'en considerada circular) y $  \omega _t$ a  la 
velocidad angular media de la Tierra al girar en torno al Sol.
Vista desde las estrellas fijas, la Tierra tarda 365.25636 di\'as 
(un a\~no sideral) en completar una vuelta en torno al Sol, asi que
%
$$ A_t = 1.4959 \times 10^{11} \hbox{\kern3pt m}  \kern3pc  \omega_t
= 2\pi / 365.25636 = 1.720212 \times 10^{-2} \hbox{\kern2pt dias}^{-1} 
$$

Si representamos a la posici\'on de la Luna respecto a la Tierra
mediante el n\'umero complejo
 $Z_l= A_l e^{i\omega_l t}$ y, de manera an\'aloga, a la posici\'on
de la Tierra respecto al Sol 
$Z_t = A_t e^{i\omega_t t}$, entonces la posici\'on de la Luna,
vista desde el Sol, es la suma de estos dos n\'umeros:
%
\begin{align}
\label{cap7:ec2}
z(t) = x(t) + iy(t) = A_t e^{i\omega _t t} + A_l e^{i\omega_l t}
\end{align}
%
\noindent donde $x(t),\, y(t) $ ser\'{\i}an las coordenadas de la Luna.

Si cambiamos la escala de la pantalla hasta que se alcance un radio
real de aproximadamente dos metros, y luego, imprimimos la \'orbita
pedazo a pedazo, se puede verificar f\'acilmente que la \'orbita es
siempre c\'oncava hacia el sol. Para esto basta una regla. Si hacemos
coincidir dos puntos no vecinos, se observa que el punto central
siempre est\'a hacia el lado de afuera, tal como en el caso de un
c\'{\i}rculo.

\section{Estudiando la curvatura}

Aunque el experimento con el computador es muy convincente, algunos
agradecer\'an un argumento anal\'{\i}tico. Para decidir el asunto de
la concavidad de la \'orbita, examinemos el signo de su curvatura.

Puesto que la curvatura est\'a dada por
%
\begin{align*}
k = \frac{\dot x \ddot y - \dot y \ddot x }{\left( \dot x ^2 + \dot y^2 \right)^{3/2}}
\end{align*}
%
\noindent basta estudiar el signo de la expresi\'on  
%
$$ S = \dot x \ddot y - \dot y \ddot x. $$ 

Un c\'alculo directo nos da
%
\begin{align*}
S = A_t^2\omega _t^3 + A_l^2\omega _l^3 + A_tA_l \omega_t\omega_l(\omega_t + \omega_l)\sen\Bigl( (\omega_t+\omega_l)t \Bigr)
\end{align*}
%
\noindent y usando los valores num\'ericos ya conocidos, se obtiene
%
\begin{align*}
S = 1.157 \times 10^{17} + 0.562 \times 10^{17} \,\sen (0.247\,t)
\end{align*}

Se ve que el primer t\'ermino es practicamente el doble del t\'ermino 
oscilante, de modo que la curvatura nunca cambia de signo y la \'orbita 
siempre es c\'oncava hacia el Sol. 

El principal obst\'aculo para entender intuitivamente a la \'orbita
helio\'centrica de la Luna, consiste en la reconciliaci\'on de dos
ideas aparentemente contradictorias:
\begin{enumerate}
\item la \'orbita de la Luna debe entrar y salir de la circunferencia 
que representa la \'orbita de la Tierra vista, desde el Sol; y

\item para salir de este c\'{\i}rculo, el vector curvatura debe 
apuntar hacia afuera.
\end{enumerate}

La primera idea es correcta, pero la segunda no lo es.

La figura m\'as simple para ilustrar esto aparece en la Figura \ref{cap7:f3}.
Se trata simplemente de la superposici\'on de una elipse y una
circunferencia; la elipse entra y sale de la circunferencia, sin que 
su concavidad cambie.
Tambi\'en mostramos otra \'orbita especial,
constru\'{\i}da a partir de un c\'{\i}rculo y un tri\'angulo, Figura 4, al que
se le han suavizado los v\'ertices y curvado los lados.

\begin{figure}[!b]
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\centering{\includegraphics[scale=0.25]{./grav/cap07_fig03-1}}
\caption{Superposici\'on de una elipse y una circunferencia.\label{cap7:f3}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.2\linewidth}
\qquad
\end{minipage}
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\centering{\includegraphics[scale=0.25]{./grav/cap07_fig06}}
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4,angle=90]{grav/cap07_fig03-2}}
\caption{\'Orbita costruida a partir de un tri\'angulo y un c\'{\i}rculo.\label{cap7:f4}}
\end{figure}

\section{La din\'amica del problema}

Consideremos ahora la din\'amica del problema simplificado.
Consideramos a los tres cuerpos como part\'{\i}culas y suponemos
que las \'orbitas de la Tierra (en torno al Sol) y de la Luna (en torno a 
la Tierra), son c\'{\i}rculos coplanarios.

Instalamos el origen de  nuestro sistema de referencia en el centro de masa del
sistema Sol-Tierra  y suponemos que los ejes de referencia giran con 
la velocidad angular media de la Tierra:
 $\Omega = 2\pi/365.25636 \hbox{\kern1pc d\'{\i}as} ^{-1}, 
$ en torno al Sol.

En este sistema, el Sol y la Tierra ocupan lugares fijos y solamente
la Luna se mueve.
Para tener presente que este sistema de referencia no es inercial, 
sino que est\'a girando, lo llamaremos ``el sistema $\Omega $.''

La masa solar es aproximadamente  330000 veces mayor que la masa de 
la Tierra, as\'{\i} es que el centro de masa del sistema Tierra--Sol
pr\'acticamente coincide con el centro de este \'ultimo.

Si llamamos D a la distancia Tierra-Sol, las coordenadas fijas
del Sol y de la Tierra ser\'{\i}an:
 $ X_{sol} = -D/330000 $ y $X_{tierra} = (32299/330000)D. $

En el sistema $\Omega$, la Tierra est\'a fija porque la atracci\'on 
gravitacional del Sol est\'a exactamente equilibrada por la fuerza
centr\'{\i}fuga.\marginpar{Imagen tomada de internet, de la p\'agina del rinc\'on del vago.}

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap07_fig04}}
\caption{El reloj usado para mostrar la posici\'on de la 
Luna.\label{cap7:f4}}
\end{figure}

Pensemos en la Luna. Su masa es solamente  1/81  de la masa de la 
Tierra (casi 27 millones de veces m\'as liviana que el Sol), as\'{\i} 
es que en nuestro modelo simplificado podemos suponer que la Luna no afecta 
a la posici\'on del Sol ni tampoco a la de la Tierra.

Ahora vamos a calcular la fuerza gravitacional que el Sol aplica a la 
Luna y tambi\'en calcularemos la fuerza centr\'{\i}fuga sobre la Luna.
El resultado principal es que la suma de estas fuerzas es 
pr\'acticamente cero.

Si la Luna estuviese en el c\'{\i}rculo que corresponde a la \'orbita
de la Tierra en torno al Sol, entonces la cancelaci\'on de la
fuerza centr\'{\i}fuga y la gravitacional ser\'{\i}a exacta.
Tengamos presente que el radio de la \'orbita Lunar es del orden de
un mil\'esimo de la separaci\'on Tierra--Sol.

Llamaremos $F_{g}(D)$ y $F_{c}(D)$ a las componentes horizontales de las fuerzas gravitacional y centr\'ifuga en la posici\'on donde se encuentra la Tierra (el centro del reloj lunar), para evaluar la fuerza total a las 3 y 9. Se necestita encontrar\footnote{El desarrollo del c\'alculo se debe al Dr. Jos\'e Luis del R\'io Correa. Que se ha hecho con el af\'an de mostrar el camino para llegar al resultado expuesto por el Dr. Dario Moreno Osorio.}
$$F_{t}(D+\Delta r)=F_{g}(D+\Delta r)+F_{c}(D+\Delta r)$$ ya que cuando $\Delta r>0$ son las 3, y cuando $\Delta r<0$ son las 9. Como $|\Delta r|\ll D$, tenemos que
\begin{align*}
F_{g}(D+\Delta r)&\simeq F_{g}(D)+\frac{dF_{g}}{dD}\Delta r\\
F_{c}(D+\Delta r)&\simeq F_{c}(D)+\frac{dF_{c}}{dD}\Delta r
\end{align*}
Como en el centro del reloj lunar sabemos que la fuerza total es cero, se tiene que$$F(D+\Delta r)\simeq \left(\frac{dF_{g}}{dD}+\frac{dF_{c}}{dD}\right)\Delta r$$Como $F_{g}(D)=-\frac{GMm}{D^{2}}$ y $F_{c}(D)=m\Omega ^{2}D$, obtenemos
$$F(D+\Delta r)\simeq \left(\frac{2GMm}{D^{3}}+m\Omega ^{2}\right)\Delta r=3m\Omega ^{2}\Delta r$$por lo que$$F(D+\Delta r)\simeq \frac{3F_{c}(D)}{D}\Delta r$$y por lo tanto$$\frac{F(D+\Delta r)}{F_{c}(D)}=3\frac{\Delta r}{D}\simeq \pm \frac{3}{1000}$$As\'i la fuerza total a las 3 es de 3 mil\'esimas el valor de la fuerza centr\'ifuga en el centro del reloj, y a las 9 es menos 3 mil\'esimas de $F_{c}(D)$.

Entonces, si comparamos el tama\~no de la atracci\'on solar y la 
fuerza centr\'{\i}fuga \textsf{cuando la Luna est\'a a las 12:00},
sus magnitudes son iguales y las fuerzas son casi exactamente
anti-paralelas. De hecho, la atracci\'on gravitacional $F_g$
y la fuerza centr\'{\i}fuga $F_c,$ son
%
\begin{align*}
\vec F_g &= - \frac{GMm}{D^3} \left( D, y \right) \\
\vec F_c &= + m \Omega ^2 \left( D, y \right)
\end{align*}
%
\noindent pero, puesto que  $GMm/D^3 = m \Omega ^2 $, se ve que la suma de 
estas dos fuerzas es cero. Podemos afirmar entonces que, a las
 ``12 y a las 6'', el jal\'on gravitacional del Sol sobre la Luna
se cancela con la fuerza centr\'{\i}fuga que tambi\'en act\'ua
sobre la Luna.

Para tener una idea de lo que ocurre  ``a las 3 y a las 9'',
podemos hacer el siguiente c\'alculo aproximado.

Diferenciamos a las expresiones que nos dan la fuerza gravitacional y
la fuerza centr\'{\i}fuga, obteniendo
%
\begin{align*}
dF_g &=  2 \frac{GMm}{D^3} dr  = 2m \Omega ^2 dr \\
dF_c &=   m \Omega ^2 dr ,
\end{align*}
%
\noindent de donde el cambio total, con respecto a lo que ocurre en el 
centro de la \'orbita lunar,  es
%
\begin{align*}
dF =  3 m \Omega ^2 dr
\end{align*}
%
\noindent y el cambio relativo  $ dF/F $ es
%
\begin{align*}
\frac{dF }{F}  =  3 \frac{dr }{D } =  3/ 1000
\end{align*}

Primera conclusi\'on: en primera aproximaci\'on, la fuerza 
centr\'{\i}fuga cancela completamente al jal\'on del Sol,
sobre la Luna.

\section{Las otras dos fuerzas sobre la Luna}

Puesto que estamos analizando desde el sistema $\Omega$, un sistema 
en rotaci\'on,  adem\'as del jal\'on gravitacional del Sol y de
la fuerza centr\'{\i}fuga hay otras dos fuerzas m\'as, que act\'uan
sobre la Luna: el jal\'on gravitacional de la Tierra y la fuerza de 
Coriolis.

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4,angle=-90]{grav/cap07_fig05}}
\caption{  La fuerza de Coriolis sobre la Luna. Se ha exagerado la posici\'on del centro de masa del sistema para dar claridad.\label{cap7:f5}}
\end{figure}

La fuerza de  Coriolis es $ - 2m   \vec\Omega \times  \vec v $, donde
$ \vec v $ es la velocidad de la Luna, en el sistema $\Omega .$

La rapidez de la Luna en torno a la Tierra es
$1022 $\, m/s  y el tama\~no de la fuerza de
Coriolis es constante: $2m \Omega v $.
La fuerza de Coriolis es siempre ortogonal con $ \vec v$
y siempre apunta hacia fuera de la Tierra.

En el sistema de referencia  $\Omega$, ciertamente esperamos que la 
Luna tenga una \'orbita circular, con radio igual a la conocida distancia
Tierra--Luna. Pero, ¿podemos esperar que la Luna tenga el mismo 
per\'{\i}odo sideral al que estamos acostumbrados, esto es, 27.3 d\'{\i}as? 

Nuestra primera respuesta podr\'{\i}a ser afirmativa, ya que, 
conserv\'an\-do\-se el radio de la \'orbita, la tercera ley de Kepler
tambi\'en exigir\'{\i}a que el per\'{\i}odo fuese el mismo. Pero no.
Lo que ocurre es que, respecto a un sistema de referencia que gira,
la tercera ley de Kepler no es la que todo el mundo conoce.

En un sistema de referencia inercial, la tercera ley de Kepler 
se puede escribir
%
\begin{align}
\label{cap7:ec3}
\omega_{\circ} ^2 r^3 =  GM
\end{align}
%
\noindent  pero, en un sistema que gira, el razonamiento que conduce a la
ecuaci\'on (\ref{cap7:ec3}) debe incluir a la fuerza de Coriolis, como sigue
%
\begin{align}
\label{cap7:ec4}
- m \omega ^2  \vec r  = - \frac{GMm}{r^2}  \vec r  - 2 m \vec{\Omega} \times  \vec v
\end{align}

Naturalmente \'esta es una aproximaci\'on, ya que la masa de la Tierra
no es infinita. Expandiendo la expresi\'on para la fuerza de Coriolis,
%
\begin{align*}
\vec \Omega \times  \vec v & =  \vec \Omega \times ( \vec \omega \times  \vec r ) = ( \vec \Omega \cdot  \vec r) \vec \omega - ( \vec \Omega \cdot  \vec \omega ) \vec r \\
& =  - \,  \Omega \omega  \vec r 
\end{align*}
%
\noindent puesto que $ \vec \Omega$ y $ \vec \omega $ son vectores
paralelos. Entonces, la ecuaci\'on (\ref{cap7:ec4}) se convierte en 
%
\begin{align}
\label{cap7:ec5}
-m\omega ^2  \vec r = - \frac{GMm }{r^ 3 } \vec r + \,2m\Omega\omega  \vec r.
\end{align}

Se ve que $ GMm/r^3 = m\omega _o ^2 $, donde $ \omega _o $ es la
rapidez angular de la Luna, en un sistema inercial. Entonces,
a partir de la relaci\'on (\ref{cap7:ec5}), obtenemos una ecuaci\'on de segundo
grado para  $\omega $,
%
\begin{align}
\label{cap7:ec6}
\omega ^2 + \, 2\Omega\omega - \omega_o ^ 2  = 0 \kern1pc ,
\end{align}
%
\noindent cuyas soluciones son
%
\begin{align}
\label{cap7:ec7}
\omega = - \Omega \pm \,  \sqrt{\omega _o^2  + \Omega ^2 }
\end{align}

Solamente la ra\'{\i}z positiva tiene sentido f\'{\i}sico y la
usamos para obtener el per\'{\i}odo de la Luna, vista \'esta desde el
sistema que gira. ``Enchufando'' los n\'umeros, se obtiene
%
\begin{align}
\label{cap7:ec8}
\omega = 0.2134105   \hbox{\rm rad/s}
\end{align}
%
\noindent y de aqu\'{\i} se obtiene un per\'{\i}odo distinto al m\'as 
citado:  27.3 d\'{\i}as.
%
\begin{align*}
T = 2\pi / 0.2134105 = 29.44  \hbox{\kern1pc d\'{\i}as}
\end{align*}

En conclusi\'on, basta considerar los datos cinem\'aticos experimentales para
descubrir que la curvatura de la \'orbita nunca cambia de
signo. Esto prueba que la \'orbita es siempre c\'oncava hacia
el Sol, disip\'andose as\'{\i} un error muy com\'un. 

Por otra parte, se ve que todas las piezas del rompecabezas
din\'amico caen en su lugar y se ajustan perfectamente. Sobre la Luna
act\'uan cuatro fuerzas y la fuerza centr\'{\i}fuga cancela a 
la atracci\'on gravitacional solar. Quedan solamente otras dos fuerzas
radiales y, para la Luna, es posible suponer una \'orbita circular de radio
 $r = 3.844 \times 10^8 \kern4pt \hbox{m} $,
\textsf{pero con un nuevo per\'{\i}odo}. 

En vez de los acostumbrados 27.3 d\'{\i}as, en el sistema giratorio
el per\'{\i}odo es $29.44 $ d\'{\i}as. Un amigo me dice que \'este
es, aproximadamente, el lapso entre dos lunas llenas. De hecho, este
valor es muy pr\'oximo al llamado {\sl per\'{\i}odo sin\'odico}
de la Luna ---$29.53059 $ d\'{\i}as---, que se define como el lapso
entre dos configuraciones similares del sistema Sol--Tierra--Luna.
En vista de tantas aproximaciones hechas, debemos pensar que \'esta
es una concordancia muy afortunada.

\section{Despu\'es de Newton}

Newton vivi\'o hace ya mucho tiempo, entre 1642 y 1727; digamos,
hace tres siglos. ¿Nada ha ocurrido en la F\'{\i}sica desde entonces? Por 
supuesto que s\'{\i}. Han ocurrido muchas cosas. Ya sabemos, por
ejemplo, que el modelo newtoniano es adecuado solamente a escala 
macrosc\'opica y a velocidades bajas, comparadas con la velocidad de la luz. En 
especial, sabemos que las ideas de Newton conducen a una teor\'{\i}a de
la gravitaci\'on que aunque para todos los fines pr\'acticos es muy precisa, 
es insatisfactoria desde otros puntos de vista.

{\sl Muy precisa para todos los fines pr\'acticos} significa que es 
suficiente para calcular eclipses, para ir y volver a la
Luna, para viajar de ida y vuelta al planeta Marte y para guiar 
sondas espaciales que recorran nuestro sistema solar.
En realidad, la dina\'amica orbital newtoniana es tan precisa,
que el m\'aximo cumplido que se podr\'{\i}a hacer de la puntualidad
de alguien es decir ``es tan puntual como un eclipse''.

Si alguien nos pidi\'ese una cota para la impuntualidad Newtoniana,
podr\'{\i}amos citar la peque\~na discrepancia entre la predicci\'on
cl\'asica y lo observado en el caso del planeta Mercurio.

Despu\'es de Newton vinieron Leonhard Euler (1707--1742), Joseph Louis 
Lagrange (1736--1813), Pierre Simon Laplace (1749--1827), William Rowan 
Hamilton (1805--1865) y, enfocando temas gravitacionales, Henri Poincar\'e 
(1854--1912).  Despu\'es de Poincar\'e ya no anoto a nadie, pues 
practicamente despu\'es de \'el comenz\'o la llamada {\sl f\'{\i}sica 
moderna}, con los quantos y la teor\'{\i}a de la relatividad de
don Alberto Einstein.

\section{Los defectos de la teor\'{\i}a newtoniana}

La teor\'{\i}a newtoniana no es solamente la teor\'{\i}a de la
gravitaci\'on que ya hemos expuesto, sino tambi\'en se refiere 
a leyes fundamentales de la mec\'anica.

A escala astron\'omica, la teor\'{\i}a newtoniana deja sin explicar el 
corrimiento del perihelio de Mercurio y, tambi\'en, el de los dem\'as 
planetas, pues Mercurio no es un caso de excepci\'on. Es excepcional 
solamente en que \'este es el corrimiento m\'as f\'acil de observar. 
Es f\'acil ``parchar'' a la gravitaci\'on cl\'asica agreg\'andole
 un  t\'ermino correctivo. En vez de la famosa ley de gravitaci\'on 
universal, se debe escribir \marginpar{Esta es la\\ nueva ley\\ 
de gravitaci\'on\\} 
%
\begin{align}
\label{cap7:ec9}
\vec F =  -\Bigl(\frac{GMm}{r^2} +  \frac{3GMm l^2}{(cmr^2)^2}\Bigr)\widehat r
\end{align}
%
\noindent en que $l$ es el momentum angular  y $c$ la velocidad de la luz. 
Una manera m\'as transparente de escribir esta misma relaci\'on es 
%
\begin{align}
\label{cap7:ec10}
\vec F = - \frac{GMm}{r^2}\Bigl( 1 + \frac{3h^2}{c^2r^2} \Bigr) \widehat r
\end{align}
%
\noindent donde $h$ es el momentum angular por unidad de masa.

Esta ley es la vieja ley de Newton, m\'as una ``peque\~na
correcci\'on''; pero esta correcci\'on es suficiente, pues
la nueva ley predice con toda exactitud la precesi\'on del perihelio
de Mercurio y  de todos los  dem\'as planetas.
Podr\'{\i}amos, entonces, tomarla  como la ley de gravitaci\'on correcta, pero 
claramente esto no es convincente. ¿De d\'onde sale el t\'ermino
de correcci\'on?  ¿Qu\'e hace la velocidad de la luz $c,$  en los
fen\'omenos ``puramente'' mec\'anicos?

La crisis es m\'as profunda. Alguien podr\'{\i}a argumentar
que, tal como uno puede inferir la ley de gravitaci\'on cl\'asica
a partir de las leyes emp\'{\i}ricas de Kepler, si le agregamos los
nuevos datos emp\'{\i}ricos respecto a la precesi\'on de los 
perihelios, bien podr\'{\i}a venir un super--Newton  e inferir
la nueva ley (\ref{cap7:ec9}).

Realmente la nueva ley no cae del cielo y, en cierto sentido,
Alberto Einstein es el super--Newton del que habl\'abamos. La
relaci\'on (\ref{cap7:ec9}) es un resultado especial de su teor\'{\i}a 
gravitacional, m\'as conocida como {\sl teor\'{\i}a general de la 
relatividad}.

\section{Las preocupaciones de Einstein}

Entre todas las preocupaciones que tuvo Einstein (adem\'as de las que 
tuvo como hombre casado) hay una que, como estudiantes de mec\'anica, nos 
ata\~ne directamente. Nos referimos a sus preocupaciones respecto
a la inercia, esa extra\~na propiedad que hace que los objetos
``quieran'' seguirse moviendo en l\'{\i}nea recta y sin
cambiar de rapidez. En cuanto usamos un t\'ermino antropom\'orfico
como ``querer'', es inevitable que queramos seguir hablando
en esos mismos t\'erminos y nos preguntemos, por ejemplo: ¿c\'omo saben 
los objetos que est\'an en movimiento? ¿Movimiento respecto a qu\'e ?

Si tomamos a la masa como una de las propiedades m\'as importantes
de los objetos, se sabe que podemos interpretar su valor como
``cantidad de inercia''; pero, al mismo tiempo e indisolublemente 
ligada a esta inercia, est\'a siempre presente la propiedad de
atraer y ser atra\'{\i}da. Inevitablemente, entonces, Einstein
hubo de ocuparse del problema de la gravitaci\'on.

La teor\'{\i}a newtoniana no solamente fracasaba al no explicar
el corrimiento del perihelio de Mercurio, sino que, a la luz
de la relatividad einsteiniana, era una teor\'{\i}a ambigua.
En efecto, en la ley de gravitaci\'on aparece el cuadrado de
una distancia: la distancia entre las part\'{\i}culas que 
interact\'uan. Pero la distancia no es un invariante, ya que depende
del sistema de referencia en el cual analicemos. Por otra
parte, las ``noticias'' de la presencia o movimientos
de objetos se propagan ---seg\'un Newton--- con una velocidad infinita, 
mientras que para Einstein la velocidad de la luz es una cota superior para la 
propagaci\'on de se\~nales.

Cuentan que un d\'{\i}a uno de los obreros que trabajaba en
el edificio donde tambi\'en trabajaba Einstein, se cay\'o
desde el techo. Afortunadamente no se mat\'o, por lo que no hubo que
llevarlo a la morgue, sino a un hospital. Tambi\'en cuentan
que uno de los primeros en ir a visitarlo fue Einstein. Quiz\'as le 
llev\'o al herido un gran ramo de flores, pero tambi\'en le llev\'o una gran 
pregunta: ¿qu\'e sentiste, mientras ibas cayendo?  La respuesta: {\sl 
nada,} debe haber dejado a Einstein rasc\'andose la cabeza.

Es curioso que el cuento de la mec\'anica est\'e llena de
ca\'{\i}das. Para empezar, la historia de la ca\'{\i}da de objetos
de la torre de Pisa mientras Galileo observaba y cavilaba. Luego,
la historia de la manzana que cae sobre la cabeza
de Newton y que dar\'{\i}a comienzo a su teor\'{\i}a
gravitacional. Y ahora los historiadores nos agregan 
una nueva ca\'{\i}da, esta vez la ca\'{\i}da de una persona.

La respuesta que recibi\'o Einstein ---{\sl nada}--- est\'a en el
centro de su teor\'{\i}a gravitaci\'onal. Seg\'un Einstein,
los planetas se mueven como se mueven no porque sobre ellos
act\'uen misteriosas fuerzas, sino que se mueven as\'{\i}...¡porque
no les queda m\'as remedio!  

En la teor\'{\i}a de Newton, las formas de las trayectorias de las
part\'{\i}culas dependen de la fuerza a que est\'an sometidas y
de las condiciones iniciales. A veces esas fuerzas pueden provenir
desde objetos muy lejanos, como es el caso del sol y los planetas.

En la teor\'{\i}a de Einstein no hay fuerzas que jalan o que empujan
y cada part\'{\i}cula se mueve seg\'un sean las condiciones
f\'{\i}sicas locales; nadie recibe \'ordenes desde lejos.

La teor\'{\i}a de Newton pretende hacernos creer que la Tierra
jala a la Luna a\'un sin cable, hilo ni cadena. En suma, nada visible
que transmita el jal\'on. Newton no hace hip\'otesis, no inventa
un mecanismo de transmisi\'on ---lo que es un defecto en la opini\'on
de muchos. La teor\'{\i}a newtoniana es muy exitosa, pero ...

\section{C\'omo estudiar la nueva gravitaci\'on}

Cuando se pregunta c\'omo estudiar la nueva gravitaci\'on,
algunos intelectuales de derecha suelen decir: \textsf{en serio.}
Esto significa primero adquirir el 
instrumental matem\'atico necesario (disponemos hoy de muy buenos
libros) y, solamente despu\'es, estudiar c\'omo se aplica todo esto a la
f\'{\i}sica de la gravitaci\'on.

Por supuesto, los fanatismos no conducen a nada bueno. Si nos ponemos
a seguir cursos de geometr\'{\i}a diferencial, como paso previo, 
probablemente se nos quite todo deseo de estudiar relatividad, aunque
quiz\'as queramos seguir estudiando matem\'aticas.

Por otra parte, todos mis amigos relativistas confiesan que ellos
han venido a entender ciertas cosas solamente al leer algunos
libros de divulgaci\'on, que los hay muy buenos. Para empezar, uno
de los cl\'asicos, el libro de Arthur Eddington {\sl  Space, Time
and Gravitation}. En tiempos m\'as cercanos, el propio R. Feynman tiene
un par de cap\'{\i}tulos acerca de la curvatura del espaciotiempo y la
gravitaci\'on, en sus conocidos ``lectures''. Ya m\'as hacia ac\'a, 
hacia nuestros d\'{\i}as, deber\'{\i}amos leer a Taylor y Wheeler 
(\textsf{Spacetime Physics}). M\'as recientemente (a fines del siglo 
pasado), Taylor y Wheeler, en su libro  \textsf{Scouting 
black-holes}, dan un excelente ejemplo pedag\'ogico al mostrar c\'omo
es posible aprender de hoyos negros sin necesidad de tensores.

%\subtit{Referencias}
%
%\item{1)} A. E. Roy, {\it Orbital Motion} (John Wiley \& Sons, 1978)
%
%\item{2)}  K. Sitnikov, Dokl. Akad. Nauk USSR {\bf 133}, 303--306 (1960)
%
%\item{3)}   V.M. Alexeev, ``Sur l'allure final du mouvement dans le probleme de trois corps'', Actes Int. Congr. Math, 1970, Vol. 2, p.893--907, Gauthier--Villars, Paris 1971.
%
%\item{4)}  Uno Ingard and William L. Kraushaar, {\it Introduction to Mechanics, Matter and Waves.} (Addison--Wesley, 1960.) Page 301.
%
%\item{5)}  M. Alonso y E.J. Finn, {\it Fundamental University Physics}, (Addison--Wesley, 1968)  Vol. I, page ...
%
%\item{6)} Edward M Purcell, ``The Back of the Envelope'', A.J.P., {\bf 52}, 490 (June 1984).
